【题目】如图所示,在等腰直角三角形ABC中,O是斜边AC的中点,P是斜边AC上的一个动点,D为BC上的一点,且PB=PD,DE⊥AC,垂足为点E,求证:PE=BO
【答案】见解析
【解析】
根据在等腰直角三角形ABC中,O是斜边AC的中点得到BO⊥AC,再根据DE⊥AC得到∠POB=∠DEP=90,再由条件PB=PD可得∠PBD=∠PDB,再证出∠PBO=∠DPE,从而证明△POB≌△DEP,进而证得结论PE=PD.
∵在等腰直角三角形ABC中,O是斜边AC的中点,
∴BO⊥AC,
∵DE⊥AC,
∴∠POB=∠DEP=90,
∵PB=PD,
∴∠PBD=∠PDB,
∴∠PBO+∠OBC=∠CPD+∠C
=∠PBO+45=∠CPD+45=∠PDB=∠PBD,
∴∠PBO+45=∠CPD+45,
∴∠PBO=∠DPE,
∴△POB≌△DEP(AAS),
∴PE=BO.
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【题目】在一个不透明的小布袋中装有4个质地、大小完全相同的小球,它们分别标有数字0,1,2,3,小明从布袋里随机摸出一个小球,记下数字为,小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球,记下数字为,这样确定了点的坐标.
(1)画树状图或列表,写出点所有可能的坐标;
(2)小明和小红约定做一个游戏,其规则为:若在第一象限,则小明胜;否则,小红胜;这个游戏公平吗?请你作出判断并说明理由.
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【题目】为了解家长对“学生在校带手机”现象的看法,某校“九年级兴趣小组”随机调查了该校学生家长若干名,并对调查结果进行整理,绘制如下不完整的统计图:
请根据以上信息,解答下列问题
(1)这次接受调查的家长总人数为________人;
(2)在扇形统计图中,求“很赞同”所对应的扇形圆心角的度数;
(3)若在这次接受调查的家长中,随机抽出一名家长,恰好抽到“无所谓”的家长概率是多少?
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【题目】如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于点,且,.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点是抛物线上一点.
①在抛物线的对称轴上,求作一点,使得的周长最小,并写出点的坐标;
②连接并延长,过抛物线上一点(点不与点重合)作轴,垂足为,与射线交于点,是否存在这样的点,使得,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,菱形ABCD的对角线交于点O,DF∥AC,CF∥BD.
(1)求证:四边形OCFD是矩形;(2)若AD=5,BD=8,计算tan∠DCF的值.
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【题目】如图,在△ABC中,AC=AB,把△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE(点B、C分别对应点D、E),BD和CE交于点F.
(1)求证:CE=BD;
(2)若AB=2,∠BAC=45°,当四边形ADFC是平行四边形时,求BF的长.
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【题目】如图,一次函数的图像与反比例函数(k>0)的图像交于A,B两点,过点A做x轴的垂线,垂足为M,△AOM面积为1.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小,并求出其最小值和P点坐标.
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【题目】已知:四边形 ABCD 内接于⊙O,连接 AC、BD,∠BAD+2∠ACB=180°.
(1)如图 1,求证:点 A 为弧 BD 的中点;
(2)如图 2,点 E 为弦 BD 上一点,延长 BA 至点 F,使得 AF=AB,连接 FE 交 AD 于点 P,过点 P 作 PH⊥AF 于点 H,AF=2AH+AP,求证:AH:AB=PE:BE;
(3)在(2)的条件下,如图 3,连接 AE,并延长 AE 交⊙O 于点 M,连接 CM,并延长 CM 交 AD 的延长线于点 N,连接 FD,∠MND=∠MED,DF=12﹒sin∠ACB,MN=,求 AH 的长.
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【题目】如图1,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,BC=4cm,点P在△ABC的边上沿路径B→A→C移动,过点P作PD⊥BC于点D,设BD=xcm,△BDP的面积为ycm2(当点P与点B或点C重合时,y的值为0).
小东根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小东的探究过程,请补充完整:
(1)自变量x的取值范围是______;
(2)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ||||
y/cm2 | 0 | m | 2 | n | 0 |
请直接写出m=_____,n=_____;
(3)如图2,在平面直角坐标系xOy中,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(4)结合画出的函数图象,解决问题:当△BDP的面积为1cm2时,BD的长度约为_____cm.(数值保留一位小数)
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