【题目】已知:如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD交AB于E,连接OD、PC、BC,∠AOD=2∠ABC,∠P=∠D,过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点,连接CF、BG.则下列结论:①CD⊥AB;②PC是⊙O的切线;③OD∥GF;④弦CF的弦心距等于BG.则其中正确的是( )
A. ①②④ B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④
【答案】A
【解析】
连接BD、OC、AG、AC,过O作OQ⊥CF于Q,OZ⊥BG于Z,求出∠ABC=∠ABD,从而有弧AC=弧AD,由垂径定理的推论即可判断①的正误;
由CD⊥PB可得到∠P+∠PCD=90°,结合∠P=∠DCO、等边对等角的知识等量代换可得到∠PCO=90°,据此可判断②的正误;假设OD∥GF成立,则可得到∠ABC=30°,判断由已知条件能否得到∠ABC的度数即可判断③的正误;求出CF=AG,根据垂径定理和三角形中位线的知识可得到CQ=OZ,通过证明△OCQ≌△BOZ可得到OQ=BZ,结合垂径定理即可判断④.
连接BD、OC、AG,过O作OQ⊥CF于Q,OZ⊥BG于Z,
∵OD=OB,
∴∠ABD=∠ODB,
∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD,
∵∠AOD=2∠ABC,
∴∠ABC=∠ABD,
∴弧AC=弧AD,
∵AB是直径,
∴CD⊥AB,
∴①正确;
∵CD⊥AB,
∴∠P+∠PCD=90°,
∵OD=OC,
∴∠OCD=∠ODC=∠P,
∴∠PCD+∠OCD=90°,
∴∠PCO=90°,
∴PC是切线,∴②正确;
假设OD∥GF,则∠AOD=∠FEB=2∠ABC,
∴3∠ABC=90°,
∴∠ABC=30°,
已知没有给出∠B=30°,∴③错误;
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∵EF⊥BC,
∴AC∥EF,
∴弧CF=弧AG,
∴AG=CF,
∵OQ⊥CF,OZ⊥BG,
∴CQ=AG,OZ=
AG,BZ=
BG,
∴OZ=CQ,
∵OC=OB,∠OQC=∠OZB=90°,
∴△OCQ≌△BOZ,
∴OQ=BZ=BG,
∴④正确.
故选:A.
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【题目】如图,边长为n的正方形OABC的边OA,OC在坐标轴上,点A1,A2…An﹣1为OA的n等分点,点B1,B2…Bn﹣1为CB的n等分点,连结A1B1,A2B2,…An﹣1Bn﹣1,分别交曲线(x>0)于点C1,C2,…,Cn﹣1.若C15B15=16C15A15,则n的值为_______.(n为正整数)
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【题目】如图,一根长为10米的竹竿AB斜靠在垂直于地面的墙上(∠O=90°),竹竿AB的倾斜角为α.当竹竿的顶端A下滑到点A′时,竹竿的另一端B向右滑到了点B′,此时倾斜角为β,则线段AA'的长为_____米.当竹竿AB滑到A′B′位置时,AB的中点P滑到了A′B′的中点P′位置,则点P所经过的路线长为_____米.(两空格均用含α、的式子表示)
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【题目】已知,如图1:中,
、
的平分线相交于点
,过点
作
交
、
于
、
(1)直接写出图1中所有的等腰三角形.指出与
、
间有怎样的数量关系?
(2)在(1)的条件下,若,
,求
的周长;
(3)如图2,若中,
的平分线与三角形外角
的平分线
交于点
,过
点作
交
于
,交
于
,请问(1)中
与
、
间的关系还是否存在,若存在,说明理由:若不存在,写出三者新的数量关系,并说明理由;
(4)如图3,、
的外角平分线的延长线相交于点
,请直接写出
,
、
,
之间的数量关系.不需证明.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,将四边形ABCD沿AB方向平移得到四边形A'B'C'D',BC与C'D'相交于点E,若BC=8,CE=3,C'E=2,则阴影部分的面积为( )
A.12+2B.13C.2
+6D.26
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【题目】如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°.∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O,点C沿EF折叠后与点O重合,则∠CEF的度数是 .
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【题目】某工厂生产的某种产品按质量分为个档次,生产第一档次(即最低档次)的产品一天生产
件,每件利润
元,每提高一个档次,利润每件增加
元.
(1)每件利润为元时,此产品质量在第几档次?
(2)由于生产工序不同,此产品每提高一个档次,一天产量减少件.若生产第
档的产品一天的总利润为
元(其中
为正整数,且
≤
≤
),求出
关于
的函数关系式;若生产某档次产品一天的总利润为
元,该工厂生产的是第几档次的产品?
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【题目】在△ABC中,已知AB=AC,∠BAC=90°,E为边AC上一点,连接BE.
(1)如图1,若∠ABE=15°,O为BE中点,连接AO,且AO=1,求BC的长;
(2)如图2,D为AB上一点,且满足AE=AD,过点A作AF⊥BE交BC于点F,过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G,交AC于点M,求证:BG=AF+FG.
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