Question

13．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，其中a＞0．
（1）若方程f（x）+2x=0有两个实根x₁=1，x₂=3，且方程f（x）+6a=0有两个相等的根，f（x）解析式；
（2）若f（x）得图象与x轴交于A（-3，0），B（m，0）两点，且当-1≤x≤0时，f（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．
注：f（x）是一个函数的记号，相当于函数y．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：把x₁=1和x₂=3代入ax²+bx+c+2x=0，再利用方程f（x）+6a=0的△=0，求出a、b、c的值即可，注意a＞0的条件；
（2）由题意可知：对称轴为x=$\frac{m-3}{2}$，根据对称轴的位置分三种情况进行讨论．

解答 解：（1）由题意可知：f（x）+2x=0，
即：ax²+bx+c+2x=0，
∴把x₁=1和x₂=3代入ax²+bx+c+2x=0，
可得：a+b+c+2=0，
9a+3b+c+6=0，
解得：a=$\frac{1}{3}$c，b=-2-$\frac{4}{3}$c，
∵f（x）+6a=0有两个相等的根，
∴ax²+bx+c+6a=0有两个相等的根，
∴△=b²-4a（c+6a）=0，
∴（-2-$\frac{4}{3}$c）²-4×$\frac{1}{3}$c（c+2c）=0，
∴解得：c=-$\frac{3}{5}$或c=3，
∵a＞0，
∴$\frac{1}{3}$c＞0，
∴c＞0，
∴c=3，
∴a=1，b=-6，
∴f（x）=x²-6x+3，
（2）由题意可知：对称轴为x=$\frac{m-3}{2}$，
由根与系数的关系可知：-3m=$\frac{c}{a}$，-3+m=-$\frac{b}{a}$
∴c=-3ma，b=（3-m）a，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
当$\frac{m-3}{2}$≤-1时，
即m≤1，f（x）在-1＜x＜0上，y随x的增大而减小，
∴-1≤x≤0时，f（x）≤0恒成立，
只需要f（0）≤0即可，
∴c≤0即可，
∴-3ma≤0，
∴m≥0，
∴0≤m≤1，
当-1＜$\frac{m-3}{2}$＜0时，
即：1＜m＜3，f（x）在-1＜x＜$\frac{m-3}{2}$上，y随x的增大而减小，在$\frac{m-3}{2}$＜x＜0上，y随x的增大而增大，
∴-1≤x≤0时，f（x）≤0恒成立，
∴即f（-1）≤0且f（0）≤0，
∴a-b+c≤0，且c≤0，
∴a-（3-m）a-3ma≤0，且-3ma≤0，
解得：m≥-1且m≥0，
∴1＜m＜3，
当$\frac{m-3}{2}$≥0时，
即m≥3，f（x）在-1＜x＜0上，y随x的增大而减小，
∴-1≤x≤0时，f（x）≤0恒成立，
只需f（-1）≤0即可，
∴a-b+c≤0，
∴a-（3-m）a-3ma≤0，
解得：m≥-1，
∴m≥3，
综上所述，m≥0时，当-1≤x≤0时，f（x）≤0恒成立．

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及分类讨论，不等式的解法，根与系数的关系等知识，综合程度较高．