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精英家教网如图,对称轴为直线x=
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的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4).
(1)求抛物线解析式及顶点坐标;
(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形,求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
①当平行四边形OEAF的面积为24时,请判断平行四边形OEAF是否为菱形?
②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)已知了抛物线的对称轴解析式,可用顶点式二次函数通式来设抛物线,然后将A、B两点坐标代入求解即可.
(2)平行四边形的面积为三角形OEA面积的2倍,因此可根据E点的横坐标,用抛物线的解析式求出E点的纵坐标,那么E点纵坐标的绝对值即为△OAE的高,由此可根据三角形的面积公式得出△AOE的面积与x的函数关系式进而可得出S与x的函数关系式.
①将S=24代入S,x的函数关系式中求出x的值,即可得出E点的坐标和OE,OA的长;如果平行四边形OEAF是菱形,则需满足平行四边形相邻两边的长相等,据此可判断出四边形OEAF是否为菱形.
②如果四边形OEAF是正方形,那么三角形OEA应该是等腰直角三角形,即E点的坐标为(3,-3)将其代入抛物线的解析式中即可判断出是否存在符合条件的E点.
解答:解:(1)因为抛物线的对称轴是x=
7
2

设解析式为y=a(x-
7
2
2+k.
把A,B两点坐标代入上式,得
a(6-
7
2
)2+k=0
a(0-
7
2
)2+k=4

解得a=
2
3
,k=-
25
6

故抛物线解析式为y=
2
3
(x-
7
2
2-
25
6
,顶点为(
7
2
,-
25
6
).

(2)∵点E(x,y)在抛物线上,位于第四象限,且坐标适合y=
2
3
(x-
7
2
2-
25
6

∴y<0,
即-y>0,-y表示点E到OA的距离.
∵OA是OEAF的对角线,
∴S=2S△OAE=2×
1
2
×OA•|y|=-6y=-4(x-
7
2
2+25.
因为抛物线与x轴的两个交点是(1,0)和(6,0),
所以自变量x的取值范围是1<x<6.
①根据题意,当S=24时,即-4(x-
7
2
2+25=24.
化简,得(x-
7
2
2=
1
4

解得x1=3,x2=4.
故所求的点E有两个,
分别为E1(3,-4),E2(4,-4),
点E1(3,-4)满足OE=AE,
所以平行四边形OEAF是菱形;
点E2(4,-4)不满足OE=AE,
所以平行四边形OEAF不是菱形;
②当OA⊥EF,且OA=EF时,平行四边形OEAF是正方形,
此时点E的坐标只能是(3,-3),
而坐标为(3,-3)的点不在抛物线上,
故不存在这样的点E,使平行四边形OEAF为正方形.
点评:本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的性质、菱形和正方形的判定等知识.综合性强,难度适中.
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(2013•莒南县二模)如图,对称轴为直线x=-
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的抛物线经过点A(-6,0)和点B(0,4).
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)设点E(x,y)是抛物线上的一个动点,且位于第三象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形,求?OEAF的面积S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
①当?OEAF的面积为24时,请判断?OEAF是否为菱形?
②是否存在点E,使?OEAF为正方形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.•

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(1)求抛物线解析式;
(2)设点D(m,n)是抛物线上一动点,且位于第二象限,四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形.
①当四边形ODAE的面积为
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时,请判断四边形ODAE是否为菱形?并说明理由;
②当点E也刚好落在抛物线上时.求m的值;
(3)设抛物线与x轴另一交点为C,抛物线上是否存在点P,使得△PBC为直角三角形?若存在,直接写出点P坐标;若不存在,请说明理由.

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如图,对称轴为直线x=
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的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4).
(1)求抛物线解析式及顶点D的坐标;
(2)设点E(x,y)是抛物线上位于第四象限内一动点,将△OAE绕OA的中点旋转180°,点E落到点F的位置.求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
①当四边形OEAF的面积为24时,请判断四边形OEAF的形状.
②是否存在点E,使四边形OEAF为正方形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若点P是x轴上一点,以P、A、D为顶点作平行四边形,该平行四边形的另一顶点在y轴上,请直接写出满足条件的所有点P的坐标.

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如图,对称轴为直线x=
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的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4).
(1)求抛物线解析式及顶点坐标;
(2)设点E(x,y)是抛物线第四象限上一动点,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形,求?OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并求出自变量的取值范围;
(3)若S=24,试判断?OEAF是否为菱形;
(4)若点E在(1)中的抛物线上,点F在对称轴上,以O、E、A、F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求出点E、F的坐标;若不能,请说明理由.(第(4)问不写解答过程,只写结论)

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