Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上一动点，点、在轴正半轴上．

（1）如图1，若，，、是的两条角平分钱，且、交于点，直接写出的长度 ；

（2）如图2，是等边三角形，以线段为边在第一象限内作等边，连接并延长，交轴于点，当点运动到什么位置时，满足？求点的坐标；

（3）如图3，以为边在的下方作等边，点在轴上运动时，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）C(8,0)；（3）1

【解析】

（1）作，CH 交BD的延长线于H，分别证明和，根据全等三角形对应边相等即可得出答案；

（2）证明，根据全等三角形的性质得到，求出CD，得出答案；

（3）以OA为对称轴作等边，连接EP，并延长EP交x轴于点F，证明点P在直线EF上运动，根据垂线段最短解答．

解：（1）作，CH 交BD的延长线于H，

∵

∴

∴

∵，

∴

∵是的角平分钱

∴

∴，

∴

在和中，

∴

∴

在和中，

∴

∴

故答案为：4；

（2）∵、是等边三角形，

∴

∴

在和中，

∴

∴

∴

∴

∴，即

∴点C的坐标为：；

（3）以OA为对称轴作等边，连接EP，并延长EP交x轴于点F，

由（2）得，

∴

∴

∴

∴点P在直线EF上运动，当时，OP最小

∴

∴OP最小值为1．