Question

【题目】如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．

（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；

（2）连接FC，观察并直接写出∠FCN的度数（不要写出解答过程）

（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请求出tan∠FCN的值．若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠FCN＝45°，理由见解析；（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝．理由见解析.

【解析】

（1）根据三角形判定方法进行证明即可．

（2）作FH⊥MN于H．先证△ABE≌△EHF，得到对应边相等，从而推出△CHF是等腰直角三角形，∠FCH的度数就可以求得了．

（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论．

（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，

∴AB＝AD，AE＝AG＝EF，∠BAD＝∠EAG＝∠ADC＝90°，

∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD，∠ADG＝90°＝∠ABE，

∴∠BAE＝∠DAG，

在△ADG和△ABE中，

，

∴△ADG≌△ABE（AAS）．

（2）解：∠FCN＝45°，理由如下：

作FH⊥MN于H，如图1所示：

则∠EHF＝90°＝∠ABE，

∵∠AEF＝∠ABE＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB＝90°，

∴∠FEH＝∠BAE，在△EFH和△ABE中，

，

∴△EFH≌△ABE（AAS），

∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，

∴CH＝BE＝FH，

∵∠FHC＝90°，

∴∠FCN＝45°．

（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，理由如下：

作FH⊥MN于H，如图2所示：

由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90°，

结合（1）（2）得：△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，

∴EH＝AD＝BC＝8，

∴CH＝BE，

∴；

在Rt△FEH中，tan∠FCN＝，

∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝．