Question

如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D．连结DB，过点D 作DE⊥BC，
垂足为点E．

（1）求证：AD = CD；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）求证：DB2 = AB·BE．

Answer 1

（1）∵ AB是直径∴ ∠ADB=90°∵ BA = BC∴ AD = CD（2）DE与⊙O相切；（3）可证明：
△BED∽△BDC得到证明DB2 = AB·BE

试题分析：证明：（1）∵ AB是直径∴ ∠ADB=90°∵ BA = BC∴ AD = CD               
（2）DE与⊙O相切；连接OD，                 
∵CD=AD                                
又∵AO=BO
∴OD是△ABC的中位线
∴OD∥BC                                                 
∵∠DEB=90°
∴∠ODE=90°
即OD⊥DE
∴DE为⊙O的切线。          
（3）∵∠BED =∠BDC =90⁰，∠EBD =∠DBC     
∴△BED∽△BDC                     
∴                               
又∵AB=BC
∴                               
∴BD²=AB•BE
点评：本题难度中等，主要考查学生对圆及相似三角形判定性质知识点的掌握与运用能力。