Question

4．如图，一次函数y=-x+8和反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象在第一象限内有两个不同的公共点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若△AOB的面积S_△AOB=24，求k的值．

Answer 1

分析 （1）解由它们组成的方程组，得关于x的二次方程，运用根与系数关系求实数k的取值范围；
（2）S_△AOB=S_△COB-S_△COA，据此得关系式求解．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+8}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，
∴（x-4）²=16-k，
整理得x²-8x+k=0，
∵图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B．
∴△=64-4k＞0
解得：k＜16，
∴0＜k＜16；

（2）由题意，得
${S_{△AOB}}={S_{△COB}}-{S_{△COA}}=\frac{1}{2}OC（{{x_2}-{x_1}}）=24$，即24=4（x₂-x₁）．
所以（x₁+x₂）²-4x₁x₂=36．
∵一次函数y=-x+8和反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象在第一象限内有两个不同的公共点，
∴-x+8=$\frac{k}{x}$，
∴x²-8x+k=0
设方程x²-8x+k=0的两根分别为x₁，x₂，
∴根据根与系数的关系得：x₁+x₂=8，x₁•x₂=k．
∴64-4k=36
∴k=7．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题时，把函数与一元二次方程根与系数关系联系起来，重点在运用一元二次方程根与系数关系解题．