Question

探索研究
已知二次函数y=x²+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

x	…	-1	0	1	2	3	…
y	…	0	-5	-8	-9	-8	…

（1）求该二次函数的关系式，并在给定的坐标系xOy中画出函数的图象；
（2）若A（m，y₁），B（m+4，y₂）两点都在该函数的图象上．
①试比较y₁与y₂的大小；
②若A、B两点位于x轴的下方，点P为函数图象的对称轴与x轴的交点，点Q为函数图象上的一点，解答以下问题：
（Ⅰ）直接写出实数m的变化范围是______；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得四边形APBQ为平行四边形？若存在，请求出m的值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）根据题意，，
解得，
∴该二次函数解析式为y=x²-4x-5，图象如右；

（2）①y₁-y₂=m²-4m-5-（m+4）²+4（m+4）+5=-8m，
∴当m＞0时，-8m＜0，y₁＜y₂，
当m=0时，-8m=0，y₁=y₂，
当m＜0时，-8m＞0，y₁＞y₂；

②（Ⅰ）当y=0时，x²-4x-5=0，
解得x₁=-1，x₂=5，
∴二次函数与x轴的交点坐标为（-1，0），（5，0），
∵A、B两点位于x轴的下方，
∴m＞-1，m+4＜5，
解得-1＜m＜1；

（Ⅱ）∵二次函数对称轴为x=-=2，
AB=||=2，
∴点A、B关于对称轴对称，
∴AB∥x轴，
（i）若AB为平行四边形的边，则PQ∥AB，
∴点Q为二次函数图象与x轴的交点，此时PQ=2-（-1）=3，或PQ=5-2=3，
而AB=m+4-m=4，
AB≠PQ，
∴AB不能是平行四边形的边；
（ii）若AB为平行四边形的对角线，根据AB关于对称轴对称，得
点Q为二次函数顶点，
又x=2时，y=2²-4×2-5=-9，
∴点Q坐标是（2，-9），
根据平行四边形对角线互相平分，点A、B的纵坐标是=-4.5，
此时，m²-4m-5=-4.5，
解得m=，或m=（舍去）．
又∵此时AB∥x轴，
∴y₁=y₂，
∴-8m=0，
解得m=0，
∵m=≠0，
∴不存在实数m，使得四边形APBQ为平行四边形．
分析：（1）任取两点坐标，利用待定系数法求函数解析式，根据表格中提供的数据画出图象；
（2）①求出y₁-y₂的表达式，然再分大于0，等于0，小于0三种情况讨论；
②（Ⅰ）先求出二次函数图象与x轴的交点的横坐标，再根据交点在x轴的下方，令m大于左边点的横坐标，m+4小于右边点的横坐标，解不等式即可；
（Ⅱ）先求出AB与x轴平行，所以分（i）AB为平行四边形的边时，PQ与AB平行，此时点Q就是二次函数与x轴的交点，（ii）AB为平行四边形的对角线，根据平行四边形的对角线互相平分的性质，PQ平分AB，所以点Q就是二次函数的顶点，然后分别讨论求解．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有待定系数法求函数解析式，两点的距离公式，平行四边形的性质，解一元二次方程，综合性较强，难度较大．