Question

16．如图，△ABC为等腰直角三角形，CA=CB，∠ACB=90°．M、N为直线BC上两点，BN=CM．连接AM．过C作CD⊥AM交直线AB于D，连接DN．
（1）如图1，当M、N重合时，求证：∠AMC=∠DNB；
（2）如图2，当M、N不重合时，（1）中结论还成立吗？试说明理由；
（3）如图3，当M、N分别在BC、CB的延长线上时，作图并直接写出∠AMC与∠DNB之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）作CF⊥AB于F，交AM于G，如图1，根据等腰直角三角形的性质得到∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，根据余角的性质得到∠1=∠2，推出△AGC≌△CDB（ASA），于是得到CG=BD，证得△CGM≌△BDN（SAS），根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）作CF⊥AB于F，交AM于G，如图1，根据等腰直角三角形的性质得到∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，根据余角的性质得到∠1=∠2，推出△AC≌△CDB（ASA），于是得到CG=BD，证得△CGM≌△BDN（SAS），根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）如图3，过点C作CF⊥AB交AM的延长线于点G，由CH⊥AM，得到∠GHC=∠GFB=90°，由于∠GCH=∠FCD，得到∠G=∠CDB，根据邻补角的性质得到∠ACG=∠CBD=135°，推出△ACG≌△CBD，根据全等三角形的性质得到BD=CG，证得∠MCG=∠NBD，推出△CGM≌△NBD（SAS），于是得到∠GMC=∠N，由于∠AMC+∠GMC=180°，等量代换得到∠AMC+∠DNB=180°．

解答 解：（1）作CF⊥AB于F，交AM于G，如图1，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，
∵CD⊥AM，
∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD=90°，
∴∠1=∠2，
在△AGC和△CDB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AC=BC}\\{∠ACG=∠CBD}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△CDB（ASA），
∴CG=BD，
在△CGM和△BDM中
$\left\{\begin{array}{l}{CG=BD}\\{∠GCM=∠B}\\{CM=BN}\end{array}\right.$，
∴△CGM≌△BDN（SAS），
∴∠CMA=∠DNB；

（2）（1）中结论还成立，
作CF⊥AB于F，交AM于G，如图2，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，
∵CD⊥AM，
∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD=90°，
∴∠1=∠2，
在△AGC和△CDB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AC=BC}\\{∠ACG=∠CBD}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△CDB（ASA），
∴CG=BD，
在△CGM和△BDM中
$\left\{\begin{array}{l}{CG=BD}\\{∠GCM=∠B}\\{CM=BN}\end{array}\right.$，
∴△CGM≌△BDN（SAS）
∴∠CMA=∠DNB；

（3）∠AMC+∠DNB=180°，
如图3，过点C作CF⊥AB交AM的延长线于点G，
∴CH⊥AM，
∴∠GHC=∠GFB=90°，
∵∠GCH=∠FCD，
∴∠G=∠CDB，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACF=∠CBF=45°，
∴∠ACG=∠CBD=135°，
在△ACG和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠BDC}\\{∠ACG=∠CBD}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△CBD，
∴BD=CG，
∵∠BCF=∠GCM，∠DBN=∠ABC，∠FCB=∠FBC=45°，
∴∠MCG=∠NBD，
在△CGM和△NBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=BN}\\{∠MCG=∠DBN}\\{CG=BD}\end{array}\right.$，
∴△CGM≌△NBD（SAS），
∴∠GMC=∠N，
∵∠AMC+∠GMC=180°，
∴∠AMC+∠DNB=180°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．