Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=16cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）用含t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）判断四边形OPBQ的面积是否是一个定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；
（3）当△OPQ∽△ABP时，抛物线y=

1

4

x²+bx+c经过B、P两点，求抛物线的解析式；
（4）在（3）的条件下，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，求线段MN的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据速度与时间的关系分别表示出CQ、OP、OQ的长度，然后利用三角形的面积公式列列式整理即可得解；
（2）用矩形OABC的面积减去△ABP与△BCQ的面积，根据面积公式分别列式进行整理即可得解；
（3）根据相似三角形对应边成比例列出比例式

OQ

AP

=

OP

AB

，然后代入数据求解即可得到t值，从而得到点P的坐标；
（4）先求出直线BP的解析式，然后根据直线解析式与抛物线解析式设出点M、N的坐标，再根据两点间的距离表示出MN的长度，根据二次函数的最值问题解答．

解答：解：（1）∵CQ=t，OP=2t，CO=8，
∴OQ=8-t，
∴S_△OPQ=

1

2

（8-t）×2t=-t²+8t（0＜t＜8）；

（2）∵S_{四边形OPBQ}=S_矩形ABCD-S_△PAB-S_△CBQ，
=8×16-

1

2

×8×（16-2t）-

1

2

×16×t，
=128-64+8t-8t，
=64，
∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于64；

（3）当△OPQ∽△ABP时，

OQ

AP

=

OP

AB

，
∴

8-t

16-2t

=

2t

8

，
解得：t₁=2，t₂=8（舍去），
此时P（4，0），
∵B（16，8），
∴

1 4 ×16+4b+c=0 1 4 ×256+16b+c=8

，
解得

b=- 13 3 c= 40 3

，
∴抛物线解析式是y=

1

4

x²-

13

3

x+

40

3

；

（4）设直线BP的解析式为y=kx+b，
则

4k+b=0 16k+b=8

，
解得

k= 2 3 b=- 8 3

，
∴直线BP的解析式是：y=

2

3

x-

8

3

，
设M（m，

2

3

m-

8

3

）、N（m，

1

4

m²-

13

3

m+

40

3

），
∵M在BP上运动，
∴4≤m≤16，
∴MN=

2

3

m-

8

3

-（

1

4

m²-

13

3

m+

40

3

）=-

1

4

m²+5m-16，
∴当m=-

b

2a

=10时，MN有最大值是9．

点评：本题是对二次函数的综合考查，三角形的面积求解，不规则图形的面积表示，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求直线解析式以及两点间的距离公式，二次函数的最值问题，综合性较强，准确利用动点表示出线段的长度是解题的关键．