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    如图，⊙A和⊙B是外离的两圆，两圆的连心线分别交⊙A、⊙B于E、F，点P是线段AB上的一动点（点P不与E、F重合），PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D，已知⊙A的半径为2，⊙B的半径为1，AB=5．
    （1）如设线段BP的长为x，线段CP的长为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
    （2）如果PC=PD，求PB的长；
    （3）如果PC=2PD，判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论．

    解：（1）∵PC是圆A的切线，
    ∴∠ACP=90°
    在Rt△ACP中，AC2+CP2=AP2，
    ∴4+y2=（5-x）2，
    ∴y=（1＜x＜3）；

    （2）∵PC=PD，
    ∴，
    ∴x=（符合要求）
    ∴PB的长为；

    （3）∵PC=2PD，
    ∴=2，∠ACP=∠BDP=90°，
    ∴△ACP∽△BDP，
    ∴∠APC=∠BPD，
    过点B作CP的垂线交CP的延长线于H，
    ∵∠APC=∠BPH，
    ∴∠BPD=∠BPH，
    又∵BD⊥DP，BH⊥PH，
    ∴BD=BH，
    ∴直线CP与圆B相切．
    分析：（1）由PC是圆A的切线，可得∠ACP=90°，在Rt△ACP中，由AC2+CP2=AP2，即可求得y关于x的函数解析式；
    （2）由PC=PD，可得，解此方程即可求得PB的长；
    （3）首先易证△ACP∽△BDP，可得∠APC=∠BPD，然后过点B作CP的垂线交CP的延长线于H，可得BD=BH，则可得直线CP与圆B相切．
    点评：此题考查了圆的切线的性质与判定，勾股定理的应用，圆与圆的位置关系等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．
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    （1）若PC=PD，求PB的长．
    （2）试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？如果存在，问这样的P点有几个并求出PB的值；如果不存在，说明理由．
    （3）当点P在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处（说明PB的长为多少；或PC精英家教网、PD具有何种关系）时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论．

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    （2）如果PC=PD，求PB的长；
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    （2）试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？如果存在，问这样的P点有几个并求出PB的值；如果不存在，说明理由．
    （3）当点P在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处（说明PB的长为多少；或PC、PD具有何种关系）时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论．

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