Question

（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c²，也可以表示为4×

1

2

ab+(a-b)2由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a²+b²=c²．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．

（2）试用勾股定理解决以下问题：
如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为

12

5

（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a-2b）²=a²-4ab+4b²，画在下面的网格中，并标出字母a、b所表示的线段．

Answer 1

分析：（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；
（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．

解答：解：（1）梯形ABCD的面积为

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

a²+ab+

1

2

b²，
也利用表示为

1

2

ab+

1

2

c²+

1

2

ab，
∴

1

2

a²+ab+

1

2

b²=

1

2

ab+

1

2

c²+

1

2

ab，即a²+b²=c²；

（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，
∴斜边为5，
∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为

1

2

×3×4=

1

2

×5×h，
∴h=

12

5

；

（3）∵图形面积为：（a-2b）²=a²-4ab+4b²，
∴边长为a-2b，
由此可画出的图形为：

故答案为：（2）

12

5

．

点评：此题考查了勾股定理的证明，勾股定理，多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型，此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．