Question

9．如图，已知正方形ABCD的边长是5，点O在AD上，且⊙O的直径是4．
（1）正方形的对角线BD与半圆O交于点F，求阴影部分的面积；
（2）利用图判断，半圆O与AC有没有公共点，说明理由．（提示：$\sqrt{2}$≈1.41）
（3）将半圆O以点E为中心，顺时针方向旋转．
①旋转过程中，△BOC的最小面积是$\frac{15}{2}$；
②当半圆O过点A时，半圆O位于正方形以外部分的面积是2π-$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）连接OF，如图1，先证明△ODF为等腰直角三角形得到∠DOF=90°，如何根据扇形面积公式，利用S_阴影部分=S_扇形DOF-S_△DOF进行计算；
（2）如图2，作OH⊥AC于H，先证明△OAH为等腰直角三角形，则OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA≈2.13，然后比较OH与半径的大小关系可判断半圆O与AC的位置关系；
（3）①如图3，作EM⊥BC于M，当点O到BC的距离最小，此时△ABC的面积最小，易得点O到BC的最小距离为3，然后根据三角形面积公式计算；
（4）当半圆O过点A时，根据圆周角定理的推论可判定点D落在AB上的点D′处，如图4，利用勾股定理计算出AD′=$\sqrt{15}$，然后利用半圆面积减去△AED′的面积即可得到半圆O位于正方形以外部分的面积．

解答 解：（1）连接OF，如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADB=45°，
∵OF=OD，
∴△ODF为等腰直角三角形，
∴∠DOF=90°，
∴S_阴影部分=S_扇形DOF-S_△DOF=$\frac{90•π•{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×2=π-2；

（2）半圆O与AC没有公共点．理由如下：
如图2，作OH⊥AC于H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAC=45°，
∴△OAH为等腰直角三角形，
∴OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×3≈2.13，
∵OH＞2，
∴AC与半圆O相离，
即半圆O与AC没有公共点；



（3）①如图3，作EM⊥BC于M，
当点O落在EM上的O′处时，点O到BC的距离最小，此时△ABC的面积最小，
所以△BOC的最小面积=$\frac{1}{2}$×5×（5-2）=$\frac{15}{2}$；

（4）当半圆O过点A时，即点A在半圆上，而∠A=90°，
所以点D落在AB上的点D′处，如图4，
在Rt△AED′中，AD′=$\sqrt{ED{′}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
所以半圆O位于正方形以外部分的面积=$\frac{1}{2}$•π•2²-$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{15}$=2π-$\frac{\sqrt{15}}{2}$．
故答案为$\frac{15}{2}$；2π-$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、扇形的面积公式和正方形的性质；利用圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断直线与圆的位置关系；利用旋转的性质画出几何图形是解决问题的前提．