分析 (1)根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠CBE=∠DFE,然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等,根据全等三角形对应边相等可得BE=EF,然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可;
(2)分①BC=BD时,利用勾股定理列式求出AB,然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解;②BC=CD时,过点C作CG⊥AF于G,判断出四边形AGCB是矩形,再根据矩形的对边相等可得AG=BC=3,然后求出DG=2,利用勾股定理列式求出CG,然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解;③BD=CD时,BC边上的中线应该与BC垂直,从而得到BC=2AD=2,矛盾.
解答 (1)证明:∵∠A=∠ABC=90°,
∴BC∥AD,
∴∠CBE=∠DFE,
在△BEC与△FED中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠DFE}\\{∠BEC=∠FED}\\{CE=DE}\end{array}\right.$,
∴△BEC≌△FED,
∴BE=FE,
又∵E是边CD的中点,
∴CE=DE,
∴四边形BDFC是平行四边形;
(2)①BC=BD=3时,由勾股定理得,AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$,
所以,四边形BDFC的面积=3×2$\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$;
②BC=CD=3时,过点C作CG⊥AF于G,则四边形AGCB是矩形,
所以,AG=BC=3,
所以,DG=AG-AD=3-1=2,
由勾股定理得,CG=$\sqrt{C{D}^{2}-D{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$,
所以,四边形BDFC的面积=3×$\sqrt{5}$=3$\sqrt{5}$;
③BD=CD时,BC边上的中线应该与BC垂直,从而得到BC=2AD=2,矛盾,此时不成立;
综上所述,四边形BDFC的面积是6$\sqrt{2}$或3$\sqrt{5}$.
点评 本题考查了平行四边形的判定与性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质,(1)确定出全等三角形是解题的关键,(2)难点在于分情况讨论.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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