Question

4．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作CD交AB的延长线于点D，已知∠D=30°，弦CF⊥AB，垂足为E，且AC=2CE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CF=$4\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据直角三角形的性质证明∠A=30°，得到∠OCE=30°，证明∠OCD=90°，得到答案；
（2）根据扇形的面积公式S=$\frac{nπ{r}^{2}}{360}$求出扇形COB的面积，计算即可．

解答 （1）证明：连接OC，
∵CF⊥AB，AC=2CE，
∴∠A=30°，则∠ACE=60°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠OCE=30°，
∵CF⊥AB，∠D=30°，
∴∠ECD=60°，
∴∠OCD=∠OCE+∠ECD=90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵CE=$\frac{1}{2}$CF=2$\sqrt{3}$，∠OCE=30°，
∴OE=2，OC=4，
扇形COB的面积为：$\frac{60π×{4}^{2}}{360}$=$\frac{8π}{3}$，
△OCE的面积为：$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积为$\frac{8π}{3}$-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是切线的判定和扇形面积的计算，掌握切线的判定定理和扇形面积的计算公式是解题的关键．