Question

19．已知实数a，b，c满足a+b+c=1，$\frac{1}{a+b-c}$+$\frac{1}{b+c-a}$+$\frac{1}{c+a-b}$=1，则abc=0．

Answer 1

分析 根据a+b+c=1得出a+b-c=1-2c，b+c-a=1-2a，c+a-b=1-2b，即将已知等式的分母进行变形，把式子$\frac{1}{a+b-c}$+$\frac{1}{b+c-a}$+$\frac{1}{c+a-b}$=1，通分后，去分母，把a+b+c=1整体代入即可得出结论．

解答 解：∵a+b+c=1，
∴a+b-c=1-2c，b+c-a=1-2a，c+a-b=1-2b，
∴$\frac{1}{a+b-c}$+$\frac{1}{b+c-a}$+$\frac{1}{c+a-b}$，
=$\frac{1}{1-2c}$+$\frac{1}{1-2a}$+$\frac{1}{1-2b}$，
=$\frac{（1-2a）（1-2b）+（1-2c）（1-2b）+（1-2a）（1-2c）}{（1-2a）（1-2b）（1-2c）}$，
=$\frac{3-4（a+b+c）+4（ab+ac+bc）}{（1-2b-2a+4ab）（1-2c）}$，
=$\frac{3-4+4（ab+ac+bc）}{1-2（a+b+c）+4（ab+ac+bc）-8abc}$，
∵$\frac{1}{a+b-c}$+$\frac{1}{b+c-a}$+$\frac{1}{c+a-b}$=1，
∴-1+4（ab+ac+bc）=-1+4（ab+ac+bc）-8abc，
∴8abc=0，
∴abc=0，
故答案为：0．

点评 本题是分式的加减法运算，灵活运用分式的加减法和整体代入的方法将所给的分式进行化简；异分母的分式相加减时，要化成同分母分式，先通分，化成同分母分式后，分母不变，分子相加减，按此法则进行计算可以得出abc的值．