Question

水务部门为加强防汛工作，决定对程家山水库进行加固．原大坝的横断面是梯形ABCD，如图所示，已知迎水面AB的长为10米，∠B=60°，背水面DC的长度为10

3

米，加固后大坝的横断面为梯形ABED．若CE的长为5米．
（1）已知需加固的大坝长为100米，求需要填方多少立方米；
（2）求新大坝背水面DE的坡度．（计算结果保留根号）

Answer 1

分析：（1）分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G．
在Rt△ABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；以CE为底，DG为高即可求出△CED的面积，再乘以大坝的长度，即为所需的填方体积；
（2）在Rt△CDG中，由勾股定理求CG的长，即可得到GE的长；Rt△DEG中，根据DG、GE的长即可求得坡角的正切值，即坡面DE的坡比．

解答：解：（1）分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．
在Rt△ABF中，AB=10米，∠B=60°，
sin∠B=

AF

AB

，
∴AF=10×

3

2

=5

3

，
DG=5

3

．
∴S_△DCE=

1

2

×CE×DG=

1

2

×5×5

3

=

25

2

3

．
需要填方：100×

25

2

3

=1250

3

（立方米）；

（2）在直角三角形DGC中，DC=10

3

，
∴GC=

DC2-DG2

=

(10 3 )2-(5 3 )2

=15，
∴GE=GC+CE=20，
坡度i=

DG

GE

=

5 3

20

=

3

4

．
答：（1）需要土石方1250

3

立方米．（2）背水坡坡度为

3

4

．

点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．