Question

【题目】△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、BC上，BD=CE，连接AE，CD交于点O

（1）如图1，求证：CD=AE；

（2）如图2，作等边△AEF，连接BF，DF.直接写出图2中所有120度的角.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠ADF，∠AOC，∠DOE，∠FBC

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠BAC=∠ACE=∠B=60°，根据“SAS”证明△CAE≌△BCD，即可证出结论；

（2）根据等边三角形的性质直接得出120度的角即可．

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠ACE= 60°，BC=AC．

在△BCD≌△CAE中，

，

∴△BCD≌△CAE（SAS），

∴CD=AE．

（2）∵△AEF是等边三角形，

∴∠EAF=60°，AF=AE，

∴∠FAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，

∴∠FAB =∠CAE．

∵AF=AE，∠FAB =∠CAE，AB=AC，

∴△AFB≌△AEC（SAS），

∴∠ABF=∠ACE=60°，FB=EC，

∴∠FBC=∠ABF+∠ABE=120°．

∵BD=CE，FB=EC，

∴BD= FB

∴∠FDB=60°，且DF∥CE，

∴∠ADF=120°．

∵ DF∥CE，且DF=CE，

∴ 四边形DFEC是平行四边形，

∴ DC∥FE

∴∠AOD=∠AEF= 60°，

∴∠AOC=120°，

∴∠DOE=∠AOC=120°．

故120度角的有∠ADF，∠AOC，∠DOE，∠FBC．