Question

6．已知，如图，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，D边AB上一点，连接CD，过点D作DE⊥DC交BC于E，把△BDE沿DE翻折得△DEB₁，连接B₁C．
（1）证明：∠ADC=∠B₁DC；
（2）当B₁E∥AC时，求折痕的长；
（3）当△B₁CD是等腰三角形时，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质得∠BDE=∠B₁DE，由垂直的定义得到DE⊥DC，根据余角的性质即可得到∠ADC=∠B₁DC；
（2）延长B₁E交AB于F，根据全等三角形的判定定理得到△BDG≌△B₁FD，由全等三角形的性质得到DF=DG，
推出△ADC≌△GDC，根据全等三角形的性质得到DG=AD，等量代换得到DF=AD=DG，设DF=AD=DG=x，求得BF=8-2x，根据相似三角形的性质得到EF=$\frac{12-3x}{2}$，
由于△EFD∽△ACD，得到$\frac{DF}{AC}$=$\frac{EF}{AD}$，求得BF=3，EF=$\frac{3}{2}$，于是得到结论；
（3）设AD=x，则CD=$\sqrt{{x}^{2}+36}$，BD=8-x，①当B₁D=B₁C时，则∠B₁DC=∠B₁CD，根据折叠的性质得到DB₁=BD=8-x，过B₁作B₁F⊥CD，求得DF=CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+36}}{2}$，根据相似三角形的性质得到$\frac{{B}_{1}D}{CD}$=$\frac{DF}{AD}$，即$\frac{8-x}{\sqrt{{x}^{2}+36}}$=$\frac{\frac{\sqrt{{x}^{2}+36}}{2}}{x}$，由此方程无实数根，得到B₁D≠B₁C，②B₁D=CD时，得到B₁D=CD=BD=8-x，根据勾股定理列方程得到结论；③当CD=B₁C时，过C作CH⊥DB₁，根据全等三角形的性质得到AD=DH=x，于是得到结论．

解答 （1）证明：由折叠的性质得：∠BDE=∠B₁DE，
∵DE⊥DC，
∴∠ADC=180°-90°-∠BDE=90°-∠BDE，∠B₁DC=90-∠B₁DE，
∴∠ADC=∠B₁DC；

（2）解：延长B₁E交AB于F，
∵B₁E∥AC，∠A=90°，
∴B₁F⊥AB，
∴∠EB₁D+∠BDB₁=90°，
∵∠B=∠EB₁D，
∴∠B+BDB₁=90°，
∴∠BGD=90°，
在△BDG和△B₁FD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠E{B}_{1}D}\\{∠BGD=∠{B}_{1}FD}\\{BD=D{B}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△B₁FD，
∴DF=DG，
在△ADC和△GDC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CDG}\\{∠A=∠DGC=90°}\\{DC=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△GDC，
∴DG=AD，
∴DF=AD=DG，
设DF=AD=DG=x，
∴BF=8-2x，
∵EF∥AC，
∴△BFE∽△BAC，
∴$\frac{EF}{AC}$=$\frac{BF}{AB}$，
∴EF=$\frac{12-3x}{2}$，
∵△EFD∽△ACD，
∴$\frac{DF}{AC}$=$\frac{EF}{AD}$，
∴$\frac{x}{6}$=$\frac{\frac{12-3x}{2}}{x}$，
解得：x=3，
∴BF=3，EF=$\frac{3}{2}$，
∴DE=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$；

（3）解：设AD=x，
则CD=$\sqrt{{x}^{2}+36}$，BD=8-x，
∵△B₁CD是等腰三角形，
①当B₁D=B₁C时，则∠B₁DC=∠B₁CD，
∴DB₁=BD=8-x，
如图2，过B₁作B₁F⊥CD，
则DF=CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+36}}{2}$，
∵∠ADC=∠B₁DC，∠B₁FD=∠A=90°，
∴△CDA∽△B₁DC，
∴$\frac{{B}_{1}D}{CD}$=$\frac{DF}{AD}$，即$\frac{8-x}{\sqrt{{x}^{2}+36}}$=$\frac{\frac{\sqrt{{x}^{2}+36}}{2}}{x}$，
∴3x²-16x+36=0，
∵此方程无实数根，
∴B₁D≠B₁C，
②B₁D=CD时，
∴B₁D=CD=BD=8-x，
∴（8-x）²=x²+6²，
∴x=$\frac{7}{4}$，
∴AD=$\frac{7}{4}$，
③当CD=B₁C时，如图2，过C作CH⊥DB₁，
则DH=B₁H=$\frac{1}{2}$DB₁=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$（8-x），
在△ACD和△CHD中$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CDH}\\{∠A=∠CHD=90°}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CHD，
∴AD=DH=x，
∴x=$\frac{1}{2}$（8-x），
∴x=$\frac{8}{3}$，
∴AD=$\frac{8}{3}$，
综上所述：当△B₁CD是等腰三角形时，AD的长为$\frac{7}{4}$或$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的判断和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．