Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线c1：y=ax2﹣4a+4（a＜0）经过第一象限内的定点P

（1）直接写出点P的坐标；
（2）若a=﹣1，如图1，点M的坐标为（2，0）是x轴上的点，N为抛物线c1上的点，Q为线段MN的中点，设点N在抛物线c1上运动时，Q的运动轨迹为抛物线c2 ， 求抛物线c2的解析式；
（3）直线y=2x+b与抛物线c1相交于A、B两点，如图2，直线PA、PB与x轴分别交于D、C两代女．当PD=PC时，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=ax2﹣4a+4=a（x2﹣4）+4，该函数图象过第一象限内的定点P，

∴x2﹣4=0，

解得 x=2或x=﹣2（舍去），

则y=4，

∴点P的坐标是（2，4）

（2）解：设点Q的坐标为（xQ，yQ），点N的坐标为（xN，yN）．

∵M（2，0）．

由点Q是线段MN的中点，可以求得，xN=2xQ﹣2，yN=2yQ．

∵a=﹣1，

∴抛物线c1的解析式为y=﹣x2+8．

∵点N在抛物线c1上，

∴yN=﹣xN2+8．

∴2yQ=﹣（2xQ﹣2）2+8，即yQ=﹣2xQ2+4xQ+2，

∴抛物线c2的解析式为：y=﹣2x2+4x+2．

（3）解：设点A、B的坐标分别为A（x1，ax12﹣4a+4）、B（x2，ax22﹣4a+4）．

又∵点A、B在直线y=2x+b上，

∴a（x1+x2）=2．

如图，过点B作BG∥y轴，过点P作PG∥x轴，BG、PG相交于点G，过点A作AH∥x轴，过点P作PH∥y轴，AH、PH相交于点H．

∵PD=PC，

∴∠PDC=∠PCD．

∵AH∥x轴，

∴∠PAH=∠PDC．

同理，∠BPG=∠PCD，

∴∠AHP=∠PGB，

∴Rt△PGB∽Rt△AHP，

∴ = ，即 = ，

∴x1+x2=﹣4，

∴a=﹣ ．

【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识. 解答第（2）题的技巧在于用点Q的坐标表示点N的坐标，然后把点N的坐标代入其所在的抛物线的解析式，通过化简可求得抛物线c2的解析式.