Question

已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍.

（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；               

（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似；

（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大.若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解：（1）∵ 直线y=kx-3过点A（4，0），∴ 0 = 4k -3，解得k=．[来源:学&科&网Z&X&X&K]

∴ 直线的解析式为 y=x-3．

由直线y=x-3与y轴交于点C，可知C(0，-3) ．

∴ ，解得 m=．

∴ 抛物线解析式为

（2）对于抛物线，

令y=0，则，解得x₁=1，x₂=4．

_{∴ B(1，0).} 

_{∴ AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t.}

_{①         若∠Q1P1A=90°,则P1Q1∥OC（如图1），}

_{∴ △AP1Q1∽△AOC.}

∴ , ∴．解得t= ； 

② 若∠P₂Q₂A=90°, ∵∠P₂AQ₂ =∠OAC，∴ △AP₂Q₂∽△AOC.

∴ , ∴ ．解得t=；

综上所述，当t的值为或时，以P、Q、A为顶点的三角形与△AOC相似．

（3）答：存在．

过点D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F（如图2）.

∴ S_△ADF=DF·AE，S_△CDF=DF·OE．

∴ S_△ACD= S_△ADF + S_△CDF=DF×(AE+OE) =×4 (DE+EF)

=2×()=．

∴ S_△ACD=（0<x<4）．

又0<2<4且二次项系数，∴ 当x=2时，S_△ACD的面积最大．

而当x=2时，y=．∴ 满足条件的D点坐标为D (2, )．