Question

（2012•十堰）阅读材料：
例：说明代数式

x2+1

+

(x-3)2+4

的几何意义，并求它的最小值．
解：

x2+1

+

(x-3)2+4

=

(x-0)2+12

+

(x-3)2+22

，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则

(x-0)2+12

可以看成点P与点A（0，1）的距离，

(x-3)2+22

可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3

2

，即原式的最小值为3

2

．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式

(x-1)2+1

+

(x-2)2+9

的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B

（2，3）

的距离之和．（填写点B的坐标）
（2）代数式

x2+49

+

x2-12x+37

的最小值为

10

．

Answer 1

分析：（1）先把原式化为

(x-1)2+12

+

(x-2)2+32

的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；
（2）先把原式化为

(x-0)2+72

+

(x-6)2+1

的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．

解答：解：（1）∵原式化为

(x-1)2+12

+

(x-2)2+32

的形式，
∴代数式

(x-1)2+1

+

(x-2)2+9

的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，3）的距离之和，
故答案为（2，3）；

（2）∵原式化为

(x-0)2+72

+

(x-6)2+1

的形式，
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，
如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，
∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，
∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，
∵A（0，7），B（6，1）
∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，
∴A′B=

A′C2+BC2

=

62+82

=10，
故答案为：10．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利用数形结合求解．