Question

2．在?ABCD中，AC，BD相交于点O，过点O作直线EF，GH分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GH、FH、HE
（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是菱形；
（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是菱形；
（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）四边形EGFH是平行四边形．只要证明OE=OF，OG=OH即可．
（2）当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是菱形．只要证明EG=EH即可．
（3）在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是菱形，理由同（2）．
（4）四边形EGFH是正方形．只要证明EF=GH，EF⊥GH，即可．

解答 解：（1）四边形EGFH是平行四边形．
理由：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴EO=OF，GO=OH，
∴四边形EGFH是平行四边形．

（2）当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是菱形．
理由：∵GO=OH，EF⊥GH，
∴EG=EH，
∵四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形EGFH是菱形．
故答案为菱形．

（3）在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是菱形．
理由同（2）．
故答案为菱形．

（4）四边形EGFH是正方形．
理由：∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴平行四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC，
∵EF⊥GH，
∴∠GOF=90°，
∴∠BOG=∠COF，
∴△BOG≌△COF，
∴OG=OF，
∴GH=EF，
由（1）可知四边形EGFH是平行四边形，
∵EF⊥GH，EF=GH，
∴四边形EGFH是正方形．

点评 本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．