Question

如图，四边形ABCD是等腰梯形，下底AB在x轴上，点D在y轴上，直线AC与y轴交于点E（0，1），点C的坐标为（2，3）．
（1）求A、D两点的坐标；
（2）求经过A、D、C三点的抛物线的函数关系式；
（3）在y轴上是否在点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）点A的坐标为（﹣1，0）。点D的坐标为（0，3）。
（2）y=x²﹣2x+3。
（3）存在。满足条件的点P有5个，分别为：P₁（0，2），P₂（0，），P₃（0，），P₄（0，），P₅（0，）。

试题分析：（1）利用待定系数法求出直线EC的解析式，确定点A的坐标；然后利用等腰梯形的性质，确定点D的坐标。
（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（3）满足条件的点P存在，且有多个，需要分类讨论：
①作线段AC的垂直平分线，与y轴的交点，即为所求；
②以点A为圆心，线段AC长为半径画弧，与y轴的两个交点，即为所求；
③以点C为圆心，线段CA长为半径画弧，与y轴的两个交点，即为所求。
解：（1）设直线EC的解析式为y=kx+b，
根据题意得：，解得。
∴y=x+1，
当y=0时，x=﹣1，∴点A的坐标为（﹣1，0）。
∵四边形ABCD是等腰梯形，C（2，3），∴点D的坐标为（0，3）。
（2）设过A（﹣1，0）、D（0，3）、C（2，3）三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，则有：
　，解得。
∴抛物线的关系式为：y=x²﹣2x+3。
（3）存在。
①作线段AC的垂直平分线，交y轴于点P₁，交AC于点F，

∵OA=OE，
∴△OAE为等腰直角三角形，∠AEO=45°。
∴∠FEP₁=∠AEO=45°。
∴△FEP₁为等腰直角三角形。
∵A（﹣1，0），C（2，3），点F为AC中点，
∴F（）。
∴等腰直角三角形△FEP₁斜边上的高为。
∴EP₁=1。∴P₁（0，2）。
②以点A为圆心，线段AC长为半径画弧，交y轴于点P₂，P₃．
可求得圆的半径长AP₂=AC=3，
连接AP₂，则在Rt△AOP₂中，,
∴P₂（0）.
∵点P₃与点P₂关于x轴对称，∴P₃（0，）.
③以点C为圆心，线段CA长为半径画弧，交y轴于点P₄，P₅，
则圆的半径长CP₄=CA=3，
在Rt△CDP₄中，CP₄=3，CD=2，
∴。
∴OP₄=OD+DP₄=。∴P₄（0，）.
同理，可求得：P₅（0，）。
综上所述，满足条件的点P有5个，分别为：P₁（0，2），P₂（0，），P₃（0，），P₄（0，），P₅（0，）。