Question

设二次函数y=ax²+bx+c（a＞0，b＞0）的图象经过（0，y₁）、（1，y₂）和（-1，y₃）三点，且满足y₁²=y₂²=y₃²=1．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设这个二次函数的图象与x轴的两个交点为A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，C为顶点，连接AC、BC，动点P从A点出发沿折线ACB运动，求△ABP的面积的最大值；
（3）当点P在折线ACB上运动时，是否存在点P使△APB的外接圆的圆心在x轴上？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将三点坐标代入抛物线的解析式中，根据y₁²=y₂²=y₃²=1．即可得出a、b、c的值．也就可求出抛物线的解析式．
（2）很显然当△APB面积最大时其实就是P运动到C点时，可根据抛物线的解析式求出抛物线顶点坐标和A、B的坐标，进而可根据AB的长和顶点C的纵坐标的绝对值求出S的值．
（3）根据圆周角定理可知：当△APB的外接圆的圆心在x轴上时，∠APB=90°，因此只需看∠ACB是否大于90°即可，如果∠ACB＞90°，则说明不存在这样的P点，如果∠ACB=90°，那么此时P点与C重合，如果∠ACB＜90°，则一定存在这样的P点，使得△APB的外接圆的圆心在x轴上．

解答：解：（1）由已知得：（a+b+c）²=（a-b+c）²=c²=1，
图象经过y轴负半轴，则c=-1，
∴

a+b-1=a-b-1 a+b-1=-a+b+1

，
解得；a=1，b=1，c=-1．
因此抛物线的解析式为y=x²+x-1．

（2）抛物线的顶点为（-

1

2

，-

5

4

）．
当动点P从A点出发沿折线ACB运动至顶点C时，△ABP的面积的最大，
易知：A、B的坐标为：（-

1+ 5

2

，0 ），（

5 -1

2

，0）．
因此AB=

5

．
因此S=

1

2

×

5

×

5

4

=

5 5

8

．

（3）设抛物线的对称轴与x轴的交点为D，
因此AD=BD=

5

2

，CD=

5

4

．
在直角三角形ADC中，tan∠DAC=

CD

AD

=

5

2

＞1．
因此∠DAC＞45°，
由AC=BC，可得∠ACB＜90°
∴△ABC是锐角三角形，
∴在折线ACB上一定存在点P使得∠APB=90°，即存在点P使得△APB的外接圆的圆心在x轴上．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、圆周角定理、解直角三角形等知识点．