Question

7．已知菱形ABCD，∠D=60°，点E在BC上，点F在AB上，BF=CE，连接CF，AE交于点G，作BH⊥CF交CF延长线于H，若CG=2，则BH的长为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由菱形ABCD，∠D=60°，易得△ABC是等边三角形，继而可证得△BFC≌△AEC（SAS），然后过点C作CP⊥AE于点P，则可证得△BHC≌△APC，继而求得答案．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC=∠D=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=AC，
在△BFC和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CA}\\{∠FBC=∠ECA}\\{BF=CE}\end{array}\right.$，
∴△BFC≌△AEC（SAS），
∴∠EAC=∠FCB，
∵∠ACF+∠BCF=60°，
∴∠ACF+∠EAC=60°=∠CGE，
过点C作CP⊥AE于点P，
在△BHC和△APC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠P=90°}\\{∠BCF=∠EAC}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BHC≌△APC（AAS），
∴BH=CP，
∵∠CGE=60°，CP⊥AE，CG=2，
∴GP=1，CP=$\sqrt{3}$，
∴BH=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．