Question

如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，OE∥AB，交BC于点E，连接DE，交OC于点F，作FG∥AB，交BC于点G．
（1）求证：

CF

FO

=2；
（2）求证：点G是线段BC的一个三等分点；
（3）请依照上面画法，在原图上画出BC的一个四等分点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）．

Answer 1

分析：（1）由OE∥AB，O是AC中点，可得

OE

AB

=

1

2

，又OE∥CD，又有

CF

FO

=

CD

OE

，而AB=CD，那么可证

CF

FO

=2；
（2）有FG∥AB，OE∥AB，则FG∥OE，再利用（1）的结论，可得

CG

EG

=2，即G是CE的三等分点；
（3）连接DG，交OC于H，过H作HM∥AB，交BC于M，M就是BC的四等分点．

解答：（1）证明：∵ABCD是平行四边形，
∴O是AD的中点．
∵OE∥AB，
∴OE=

1

2

AB=

1

2

CD．
∴

CF

FO

=

CD

OE

=2．

（2）证明：∵FG∥AB，
∴

CF

CA

=

CG

CB

．
∵

CF

FO

=2，OA=OC，
∴

CF

CA

=

1

3

．
∴

CG

CB

=

1

3

．
∴点G是线段BC的一个三等分点．

解：（3）连接DG，交OC于点H，作HP∥AB，交BC于点P，则点P是线段BC的一个四等分点（如图）．

点评：本题利用三角形中位线性质，判定，以及平行线分线段成比例性质等知识．