分析 (1)图1中1、3、6、10,…,第n个图中点的个数是1+2+3+…+n,即$\frac{n(n+1)}{2}$;图2中1、4、9、16,…,第n个图中点的个数是n2,求出能同时满足两个式子的数,即可得出结果;
(2)通过因式分解,将k(k+1)(k+2)(k+3)+1化解为完全平方数,即为正方形数;
(3)①由图1中1、3、6、10,…,第n个图中点的个数是1+2+3+…+n,即$\frac{n(n+1)}{2}$;图2中1、4、9、16,…,第n个图中点的个数是n2,即可得出结果;
②由N(n,3)=$\frac{(3-2){n}^{2}+(4-3)n}{2}$,N(n,4)=$\frac{(4-2){n}^{2}+(4-4)n}{2}$,N(n,5)=$\frac{(5-2){n}^{2}+(4-5)n}{2}$,N(n,6)=$\frac{(6-2){n}^{2}+(4-6)n}{2}$,可推断N(n,k)=$\frac{(k-2){n}^{2}+(4-k)n}{2}$(k≥3),将N(10,24)代入即可得出结果.
解答 (1)解:∵正方形数点的个数是为n2,∴除1外,分别为4,9,16,25,36,49,64,…,
∵图1中1、3、6、10,…,第n个图中点的个数是1+2+3+…+n,即三角形数点的个数是为$\frac{n(n+1)}{2}$,
∵4=$\frac{n(n+1)}{2}$无正整数解,∴4不是三角形数,
∵9=$\frac{n(n+1)}{2}$无正整数解,∴9不是三角形数,
∵16=$\frac{n(n+1)}{2}$无正整数解,∴16不是三角形数,
∵25=$\frac{n(n+1)}{2}$无正整数解,∴25不是三角形数,
∵36=$\frac{n(n+1)}{2}$,解得n=8,所以36是三角形数,
∴除1外,最小的既是三角形数又是正方形数的是36,
故答案为36;
(2)证明:∵k(k+1)(k+2)(k+3)+1
=k(k+3)(k+1)(k+2)+1
=(k2+3k)(k2+3k+2)+1
=(k2+3k)2+2(k2+3k)+1
=(k2+3k+1)2
∴k(k+1)(k+2)(k+3)+1是完全平方数,即为正方形数;
(3)解:①由(1)知:N(n,3)=$\frac{n(n+1)}{2}$,N(n,4)=n2;
②∵N(n,3)=$\frac{n(n+1)}{2}$=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$=$\frac{(3-2){n}^{2}+(4-3)n}{2}$,
N(n,4)=n2=$\frac{2{n}^{2}+0×n}{2}$=$\frac{(4-2){n}^{2}+(4-4)n}{2}$,
N(n,5)=$\frac{3}{2}$n2-$\frac{1}{2}$n=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$=$\frac{(5-2){n}^{2}+(4-5)n}{2}$,
N(n,6)=2n2-n=$\frac{4{n}^{2}-2n}{2}$=$\frac{(6-2){n}^{2}+(4-6)n}{2}$,
∴由此变化规律可推断N(n,k)=$\frac{(k-2){n}^{2}+(4-k)n}{2}$(k≥3);
∴N(10,24)=$\frac{(24-2)×1{0}^{2}+(4-24)×10}{2}$=1000.
点评 本题考查三角形数、正方形数的规律、完全平方数与归纳推理等知识,观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键.
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姓名 | A | B | C | D | E | F | G | H | I |
成绩(米) | 0.91 | 0.95 | 1.10 | 0.98 | 1.08 | 0.96 | 1.12 | 1.18 | 1.17 |
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