Question

已知：点P是等边△ABC内任意一点，它到三边的距离分别为h₁、h₂、h₃，且满足h₁+h₂+h₃=6，则S_△ABC=______．

Answer 1

如图，在等边△ABC中，AB=BC=AC，
过点A作AD⊥BC，垂足为D，
则BD=CD=

1

2

BC=

1

2

AB，
∵S_△ABC=

1

2

AB•h₁+

1

2

BC•h₂+

1

2

AC•h₃=

1

2

BC•AD，
∴AD=h₁+h₂+h₃=6，
在Rt△ABD中，AB²=BD²+AD²，
即AB²=（

1

2

AB）²+6²，
AB=4

3

，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×4

3

×6=12

3

．
故答案为：12

3

．