Question

13．如图，第一角限内的点A在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，第四象限内的点B 在反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上，且OA⊥OB，∠OAB=60度，则k值为-6．

Answer 1

分析 作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，如图，根据反比例函数图象上点的坐标特征，设A（a，$\frac{2}{a}$），B（b，$\frac{k}{b}$），再证明Rt△OAC∽Rt△BOD，根据相似的性质得$\frac{OC}{BD}$=$\frac{AC}{OD}$=$\frac{OA}{OB}$，而在Rt△AOB中，根据正切的定义得到tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{3}$，即$\frac{\frac{2}{a}}{b}$=$\frac{a}{-\frac{k}{b}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，然后利用比例性质先求出ab的值再计算k的值．

解答 解：作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，如图，设A（a，$\frac{2}{a}$），B（b，$\frac{k}{b}$），
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠DOB=90°，
而∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠DOB，
∴Rt△OAC∽Rt△BOD，
∴$\frac{OC}{BD}$=$\frac{AC}{OD}$=$\frac{OA}{OB}$，
∵在Rt△AOB中，tan∠OAB=tan60°=$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{OC}{BD}$=$\frac{AC}{OD}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，即$\frac{\frac{2}{a}}{b}$=$\frac{a}{-\frac{k}{b}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴ab=2$\sqrt{3}$，
∴k=-$\sqrt{3}$ab=-$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$=-6．
故答案为-6．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了相似三角形的判定与性质．