Question

如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以2cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF．
（2）①当t为何值时，四边形ACFE是平行四边形；②当t为何值时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形．

Answer 1

分析：1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；
（2）①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可；
②分两种情况考虑：
情形一：四边形AFCE为直角梯形时，AF⊥BC或CE⊥AG．
情形二：若四边形ACFE是直角梯形时，此时EF⊥AG．

解答：（1）证明：∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
在△ADE和△CDF中，

∠EAD=∠DCF ∠ADE=∠CDF AD=CD

，
∴△ADE≌△CDF（AAS）；

（2）解：①由题意得：AE=2t，CF=3t-6．
若四边形ACFE是平行四边形，则有CF=AE，则2t=3t-6，
解得t=6．
所以，当t=6时，四边形ACFE是平行四边形；
②情形一：四边形AFCE为直角梯形时，AF⊥BC或CE⊥AG．
当AF⊥BC时，则BF=3t=3，解得t=1，符合题意；
当CE⊥AG，则AE=2t=3，解得t=1.5，符合题意．
情形二：若四边形ACFE是直角梯形时，此时EF⊥AG．
则BF-AE=3，即3t-2t=3，解得t=3，符合题意；
综上所述，当t=1s、1.5s或3s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形．

点评：此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及直角梯形，弄清题意是解本题的关键．