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如图,在等腰直角△ACB中,∠ACB=90°,O是斜边AB的中点,点D、E分别在直角边AC、BC上,且∠DOE=90°,DE交OC于点P.则下列结论:
(1)图形中全等的三角形只有两对;
(2)△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍;
(3)CD+CE=数学公式OA;(4)AD2+BE2=2OP•OC.
其中正确的结论有


  1. A.
    1个
  2. B.
    2个
  3. C.
    3个
  4. D.
    4个
C
分析:结论(1)错误.因为图中全等的三角形有3对;
结论(2)正确.由全等三角形的性质可以判断;
结论(3)正确.利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断.
结论(4)正确.利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断.
解答:
结论(1)错误.理由如下:
图中全等的三角形有3对,分别为△AOC≌△BOC,△AOD≌△COE,△COD≌△BOE.
由等腰直角三角形的性质,可知OA=OC=OB,易得△AOC≌△BOC.
∵OC⊥AB,OD⊥OE,∴∠AOD=∠COE.
在△AOD与△COE中,

∴△AOD≌△COE(ASA).同理可证:△COD≌△BOE.
结论(2)正确.理由如下:
∵△AOD≌△COE,∴S△AOD=S△COE
∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC
即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍.
结论(3)正确,理由如下:
∵△AOD≌△COE,∴CE=AD,
∴CD+CE=CD+AD=AC=OA.
结论(4)正确,理由如下:
∵△AOD≌△COE,∴AD=CE;∵△COD≌△BOE,∴BE=CD.
在Rt△CDE中,由勾股定理得:CD2+CE2=DE2,∴AD2+BE2=DE2
∵△AOD≌△COE,∴OD=OE,
又∵OD⊥OE,∴△DOE为等腰直角三角形,∴DE2=2OE2,∠DEO=45°.
∵∠DEO=∠OCE=45°,∠COE=∠COE,
∴△OEP∽△OCE,
,即OP•OC=OE2
∴DE2=2OE2=2OP•OC,
∴AD2+BE2=2OP•OC.
综上所述,正确的结论有3个,故选C.
点评:本题是几何综合题,考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点.难点在于结论(4)的判断,其中对于“OP•OC”线段乘积的形式,可以寻求相似三角形解决问题.
练习册系列答案
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精英家教网如图,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,P是△ABC内一点,PA=1,PB=3,PC=
7
,那么∠CPA=
 
度.

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23、如图,在等腰直角三角形ABC和DEC中,∠BCA=∠BCE=90°,点E在边AB上,ED与AC交于点F,连接AD.
(1)求证:△BCE≌△ACD.
(2)求证:AB⊥AD.

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(1)取BC中点D,问OD+DA是否发生改变,若会,说明理由;若不会,求出OD+DA;
(2)你认为OA的长度是否会发生变化?若变化,那么OA最长是多少?OA最长时四边形OBAC是怎样的四边形?并说明理由;
(3)填空:当OA最长时A的坐标(
2
2
2
2
),直线OA的解析式
y=x
y=x

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如图,在等腰直角△ABC的斜边AB上取两点M、N(不与A、B重合)使∠MCN=45°,记AM=m,MN=x,NB=n,试判断以x、m、n为边长的三角形的形状,并给予说明.

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