Question

甲：已知关于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+m²+m-2=0
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x₁、x₂满足+=1+，求m的值．
乙：如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA=，求△ACF的面积．

Answer 1

甲题
（1）证明：∵△=（2m+1）²-4（m²+m-2）=9，
∴△＞0，
∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-2，
∴+==，
∴=，
∴m²=4，解得m=2或m=-2，
又∵m+2≠0，
∴m=2．

乙题：
（1）证明：连接BO，如图，
∵AB=AD=AO，
∴△ODB是直角三角形
∴∠OBD=90°，即BD⊥BO，
∴BD是⊙O的切线；

（2）解：∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF，
∴△ACF∽△BEF，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
在Rt△BFA中，cos∠BFA=，
∴，
又∵S_△BEF=8
∴S_△ACF=18．
分析：甲题：（1）先计算出△=9，然后根据△的意义即可得到结论；（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-2=0，然后变形已知条件+==，再把x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-2=0整体代入得到关于m的方程，解方程即可（要检验）．
乙题：易证得△ACF∽△BEF，根据相似三角形的性质得到S_△BEF：S_△ACF=BF²：AF²，由AC是⊙O的直径得到∠ABC=90°，再根据三角函数的定义得到cos∠BFA=，由△BEF的面积为8即可求出△ACF的面积．
点评：甲题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根的判别式与根与系数的关系：若△=b²-4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根；如果方程有两个实数根x₁、x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．
乙题考查了切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了三角形相似的判定与性质、圆周角定理以及三角函数的定义．