Question

已知：图1是一块学生用直角三角板，其中∠A′=30°，三角板的边框为透明塑料制成（内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等）．将直径为4cm的⊙O移向三角板，三角板的内ABC的斜边AB恰好等于⊙O的直径，它的外△A′B′C′的直角边A′C′ 恰好与⊙O相切（如图2），则边B′C′的长为         cm．

 

Answer 1

【答案】

3＋

【解析】

试题分析：过O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，由AC与A′C′，根据与平行线中的一条直线垂直，与另一条也垂直，得到OD与AC垂直，可得DE为三角尺的宽，由A′C′与圆O相切，根据切线的性质得到OD为圆的半径，根据直径AB的长，求出半径OA，OB及OD的长，在直角三角形AOE中，根据∠A=30°，利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得出OE等于OA的一半，由OA的长求出OE的长，再由OD-OE求出DE的长，即为三角尺的宽；设直线AC交A′B′于M，交B′C′于N，过A点作AH⊥A′B′于H，则有∠AMH=30°，AH=1，得到AM=2AH=2，可计算出MN的长，在Rt△MB′N中利用含30°的直角三角形三边的关系即可求得结果.

过O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，

∵AC∥A′C′，

∴AC⊥OD，

∵A′C′与⊙O相切，AB为圆O的直径，且AB=4cm，

∴OD=OA=OB=AB=×4=2（cm），

在Rt△AOE中，∠A=30°，

∴OE=OA=×2=1（cm），

∴DE=OD-OE=2-1=1（cm）

则三角尺的宽为1cm

设直线AC交A′B′于M，交B′C′于N，过A点作AH⊥A′B′于H，

则有∠AMH=30°，AH=1，得到AM=2AH=2，

∴MN=AM+AC+CN=3+2，

在Rt△MB′N中，

∵∠B′MN=30°，

∴B′N=NM=+2，

∴B′C′=B′N+NC′=3＋.

考点：切线的性质，含30°直角三角形的性质，平行线的性质

点评：解题的关键是熟练掌握当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径.