Question

4．如图，AB为⊙O的直径，点C、F在⊙O上，ED⊥AF于D，AF、BC交于M，∠E=2∠ABC，若cos∠E=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，求$\frac{AC}{BM}$的值．

Answer 1

分析 连接CO，BF，由AB为⊙O的直径，得到BF∥DE，由于∠E=2∠ABC，得到∠ABF=2∠ABC，推出$\widehat{AC}$=$\widehat{CF}$，得到CO垂直平分AF，根据cos∠E=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，得到cos∠ABF=$\frac{\sqrt{10}}{10}$设AB=10，BF=$\sqrt{10}$，求出AF=3$\sqrt{10}$，AH=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，根据△ACH∽△BMF，即可得到结论．

解答 解：连接BF，CO交AD于H，
∵AB为⊙O的直径，
∴BF⊥AD，∵ED⊥AF于D，
∴BF∥DE，
∴∠ABF=∠E，
∵∠E=2∠ABC，
∴∠ABF=2∠ABC，
∴∠ABC=∠CBF，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CF}$，
∴CO垂直平分AF，
∵cos∠E=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴cos∠ABF=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
设AB=10，BF=$\sqrt{10}$，
∴AF=3$\sqrt{10}$，
∴AH=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{CF}$，
∴∠CAH=∠MBF，
∴△ACH∽△BMF，
∴$\frac{AC}{BM}=\frac{AH}{BF}$=$\frac{\frac{3\sqrt{10}}{2}}{\sqrt{10}}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．