(6分)如图,在菱形ABCD中,E是AD的中点,EF⊥AC交CB的延长线于点F.
【小题1】 (1)DE和BF相等吗?请说明理由;
【小题2】 (2)连接AF、BE,四边形AFBE是平行四边形吗?说明理由.
【小题1】(1)相等,连接BD,证明四边形DEFB是平行四边形,则BF=DE=AE
【小题2】(2)是平行四边形,理由是AE平行且等于BF
解析考点:菱形的性质;平行四边形的判定。
分析:
(1)设AB、EF相交于G,连接BD,根据菱形的对角线互相垂直可得BD⊥AC,然后求出EG∥BD,判断出EG是△ABD的中位线,从而求出AG=BG,再根据两直线平行,内错角相等求出∠AEG=∠BFG,利用“角角边”证明△AEG和△BFG全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=BF,从而求出DE=BF;
(2)根据一组对边平行且相等是四边形是平行四边形解答。
解答:
(1)DE=BF.理由如下:如图。
设AB、EF相交于G,连接BD,
在菱形ABCD中,BD⊥AC,
∵EF⊥AC,
∴EG∥BD,
∵E是AD中点,
∴EG是△ABD的中位线,
∴AG=BG,
又∵AD∥BC,
∴∠AEG=∠BFG,
在△AEG和△BFG中,∠AEG=∠BFG、∠AGE=∠BGF、AG=BG,
∴△AEG≌△BFG(AAS),
∴AE=BF,
∵E是AD中点,
∴AE=DE,
∴DE=BF。
(2)四边形AFBE是平行四边形。
理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,
∴AE∥BF,
又∵AE=BF,
∴四边形AFBE是平行四边形。
点评:本题考查了菱形的性质,平行四边形的判定,全等三角形的判定与性质,主要利用了菱形的对角线互相垂直的性质,作辅助线构造出全等三角形的是解题的关键,也是本题的难点。
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(本小题满分8分)
如图,在菱形中,是上的一个动点(不与重合),连接交对角线于,连接.
(1)求证:;
(2)若,试问点运动到什么位置时的面积等于菱形面积的?为什么?
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科目:初中数学 来源:2011届上海市黄浦区数学学业考试模拟试卷 题型:解答题
(本题12分)如图8,在菱形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足为E、F.
(1)求证:△ABE≌△ADF;
(2)若∠BAE=∠EAF,求证:AE=BE;
(3)若对角线BD与AE、AF交于点M、N,且BM=MN(如图9).
求证:∠EAF=2∠BAE.
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科目:初中数学 来源:2013年初中毕业升学考试(四川攀枝花卷)数学(解析版) 题型:填空题
(2013年四川攀枝花4分)如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB于点E,cosA=,BE=4,则tan∠DBE的值是
.
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科目:初中数学 来源:2010年安徽省芜湖市毕业学业考试模拟试卷数学卷 题型:解答题
(本小题满分8分)
如图,在菱形中,是上的一个动点(不与重合),连接交对角线于,连接.
(1)求证:;
(2)若,试问点运动到什么位置时的面积等于菱形面积的?为什么?
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