Question

19．已知关于x的一元二次方程x²+3x+k-1=0有实根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，设二次函数y=x²+3x+k-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
①求△ABC的面积；
②连接AC，过B作BH⊥AC于H，求BH的长．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=3²-4（k-1）≥0，然后解不等式求出满足条件的正整数即可；
（2）把（1）k的中分别代入方程可判断k=3满足条件，当k=3时，方程变形为x²+3x+2=0，解得x₁=-1，x₂=-2，从而得到A点和B点坐标为（-1，0），（-2，0），再求出C（0，2），
①根据三角形面积公式计算△ABC的面积；
②讨论：当A（-2，0），B（-1，0），C（0，2），利用等腰直角三角形的性质求BH；
当A（-1，0），B（-2，0），C（0，2），则利用面积法求BH．

解答 解：（1）根据题意得△=3²-4（k-1）≥0，解得k≤$\frac{13}{4}$，
而k为正整数．
所以k的值为1、2、3、4；
（2）当k=1时，方程变形为x²+3x=0，解得x₁=0，x₂=-3，
当k=2时，方程变形为x²+3x+1=0，解得x₁=$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$，
当k=4时，方程变形为x²+3x+3=0，方程没有实数解，
当k=3时，方程变形为x²+3x+2=0，解得x₁=-1，x₂=-2，
此时二次函数为y=x²+3x+2，A点和B点坐标为（-1，0），（-2，0），
当x=0时，y=x²+3x+2=2，则C（0，2），
①△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×2×1=1；
②当A（-2，0），B（-1，0），C（0，2），
∵OC=OA，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴∠BAH=45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当A（-1，0），B（-2，0），C（0，2），则AC=$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$BH•AC=$\frac{1}{2}$•AB•OC，
∴BH=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
即BH为$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了三角形面积公式．