Question

7．已知抛物线经过原点及点（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），且抛物线与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该抛物线的解析式为y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x或y=x²+x．

Answer 1

分析 设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），由图象与x轴的另一交点到原点的距离为1可得到抛物线与x轴的另一交点坐标为（1，0）或（-1，0），然后分别把（0，0）、（1，0）、（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$）或（0，0）、（-1，0）、（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$）代入解析式中得到两个方程组，解方程组即可确定解析式．

解答 解：设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
当图象与x轴的另一交点坐标为（1，0）时，
把（0，0）、（1，0）、（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{a+b+c=0}\\{\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+c=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解方程组得，$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{1}{3}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
则二次函数的解析式为y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x；
当图象与x轴的另一交点坐标为（-1，0）时，把得$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{a-b+c=0}\\{\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+c=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解方程组得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\\{c=0}\end{array}\right.$，
则二次函数的解析式为y=x²+x．
所以该二次函数解析式为y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x或y=x²+x．
故答案为：y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x或y=x²+x．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．