Question

如图，等腰梯形ABCD，BC∥AD，AB=DC，BC=2AD=4cm，BD⊥CD，AC⊥AB，BC边的中点为E．
（1）判断△ADE的形状（简述理由），并求其周长．
（2）求AB的长．
（3）DE是否垂直平分AC？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形的性质可求出AE及DE的长，故可得出结论；
（2）先根据全等三角形的判定定理得出△AEB≌△DEC，所以∠AEB=∠DEC，由∠AED=60°可知∠AEB=∠DEC=60°，再由AE=BE可知∠BAE=∠ABE，故可得出△ABE是等边三角形，进而得出AB的长；
（3）先根据AD∥BC，AD=CE可知四边形AECD是平行四边形，再由AE=CE可知四边形AECD是菱形，故可得出结论．

解答：解：（1）∵BC=2AD=4cm，
∴AD=2cm，
∵BD⊥CD，AC⊥AB，E是BC的中点，
∴AE=DE=

1

2

BC=

1

2

×4=2cm，
∴AD=AE=CE，即△ADE是等边三角形；

（2）在△AEB与△DEC中，
∵

AB=CD AE=DE BE=CE

，
∴△AEB≌△DEC，
∴∠AEB=∠DEC，
∵∠AED=60°，
∴∠AEB=∠DEC=60°，
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠ABE，
∴∠BAE=∠ABE=∠AEB=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=AE=2cm；

（3）∵BC∥AD，BC=2AD=4cm，E是BC的中点，
∴AD=CE=2cm，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AE=CE，
∴四边形AECD是菱形，
∴DE垂直平分AC．

点评：本题考查的是等腰梯形的性质，涉及到平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定定理等知识，难度适中．