Question

【题目】如图，点，分别在正方形的边，上，且，点在射线上（点不与点重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，垂足为点，交射线于点．

（1）如图1，若点是的中点，点在线段上，线段，，的数量关系为　　．

（2）如图2，若点不是的中点，点在线段上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）正方形的边长为6，，，请直接写出线段的长．

Answer 1

【答案】（1）；理由见解析；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）线段的长为3或5．

【解析】

（1）由证明，得出，即可得出结论；

（2）由证明，得出，即可得出结论；

（3）①当点在线段上时，点在线段上，由（2）可知：，求出，，即可得出答案；

②当点在射线上时，点在线段的延长线上，同理可得：；即可得出答案．

（1）；理由如下：

四边形是正方形，

，，

由旋转的性质得：，，

，

，

，，

，

又，，

，

在和中，，

，

，

，即；

故答案为：；

（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：

由题意得：，，

，

，

，，

，

四边形是正方形，

，，

，

，

，

在和中，，

，

，

，即；

（3）分两种情况：

①当点在线段上时，点在线段上，

由（2）可知：，

，

，，

；

②当点在射线上时，点在线段的延长线上，如图3所示：

同（2）可得：，

，

，，

，

；

综上所述，线段的长为3或5．