Question

如图，在平面直角坐标系中，O为原点，每个小方格的边长为1个单位长度，在第一象限内有横、纵坐标均为整数的A、B两点，且OA=OB=．A点的横坐标小于B点的横坐标，C是线段AB上一点，点C与点O的距离最近．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标：
A（______，______），B（______，______），C（______，______）．
（2）画出线段AB绕点O旋转一周所形成的图形（用阴影表示），并求其面积（结果保留π）．

Answer 1

解：（1）设A（x，y）．根据题意，得
x²+y²=10，
又在第一象限内，横、纵坐标均为整数，
∴x=3或1，y=1或3．
∵A点的横坐标小于B点的横坐标，
∴A（1，3）、B（3，1）．
∵C是线段AB上一点，点C与点O的距离最近，
∴过O作CO⊥AB，垂足为C，
∴A（1，3）、B（3，1），
∴C点坐标为：（2，2）；
故答案为：1，3；3，1；2，2；

（2）（如图）过O作CO⊥AB，垂足为C，
由题意得：大圆半径OA=，
小圆半径OC=2．
∴S_圆环=π（）2-π（2）2=2π．
分析：（1）设A（x，y），根据勾股定理列方程，再结合在第一象限内，且横、纵坐标均为整数，A点的横坐标小于B点的横坐标，C是线段AB上一点，点C与点O的距离最近进而求出即可；
（2）根据（1）中的点的坐标进行画图，显然求的是圆环的面积．
点评：此题综合了点的坐标和圆的知识以及图形的旋转和圆环面积求法，注意数形结合的思想解决问题．