Question

16．已知二次函数y=mx²+（3m+1）x+3．
（1）当m取何值时，此二次函数的图象与x轴有两个交点；
（2）当抛物线y=mx²+（3m+1）x+3与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数时，求此抛物线的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的根的判别式，直接计算即可；
（2）根据求根公式，求出两根，由抛物线与x轴的两个交点的横坐标都为正整数，求出m的值，可得抛物线解析式．

解答 解：（1）由题意可知，△=b²-4ac=（3m+1）²-4m×3=（3m-1）²＞0，
解得：m≠$\frac{1}{3}$，
∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴m≠0，
∴当m≠$\frac{1}{3}$且m≠0时，此二次函数的图象与x轴有两个交点；

（2）有求根公式，得：x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{-（3m+1）±\sqrt{（3m+1）^{2}-12m}}{2m}$，
∴x₁=-3，x₂=-$\frac{1}{m}$，
∵抛物线与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数，
∴m=1，
∴抛物线的解析式为：y=x²+4x+3；

点评 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点坐标的横坐标即相应的一元二次方程的解是解决此题的关键．