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6.如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,对角线AC,BD交于点O,点P从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为2cm/s,当OD平分∠COP时,运动时间为$\frac{56}{39}$s.

分析 如图,作OG⊥BD交AD于G,作OH⊥AD于H,GM⊥AC于M,GN⊥OP于N.由△DOG∽△DAB可得DG=$\frac{25}{4}$,AG=$\frac{7}{4}$,由$\frac{{S}_{△AOG}}{{S}_{△GOP}}$=$\frac{AG}{PG}$=$\frac{\frac{1}{2}•OA•GM}{\frac{1}{2}•OP•GN}$=$\frac{OA}{OP}$,设PG=x,OP=y,可得$\frac{\frac{7}{4}}{x}$=$\frac{5}{y}$,推出y=$\frac{20}{7}$x,在Rt△OPH中,OP=y,OH=3,PH=$\frac{9}{4}-x$,可得y2=($\frac{9}{4}$-x)2+32,解方程组即可解决问题.

解答 解:如图,作OG⊥BD交AD于G,作OH⊥AD于H,GM⊥AC于M,GN⊥OP于N.

∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=6,BC=AD=8,
易知AC=BD=10,OA=OB=OC=OD=5,
由△DOG∽△DAB可得DG=$\frac{25}{4}$,AG=$\frac{7}{4}$,
∵∠DOP=∠DOC=∠AOB,∠GOD=∠GOB=90°,
∴∠AOG=∠GOP,
∴GM=GN,
∴$\frac{{S}_{△AOG}}{{S}_{△GOP}}$=$\frac{AG}{PG}$=$\frac{\frac{1}{2}•OA•GM}{\frac{1}{2}•OP•GN}$=$\frac{OA}{OP}$,设PG=x,OP=y,
∴$\frac{\frac{7}{4}}{x}$=$\frac{5}{y}$,
∴y=$\frac{20}{7}$x,
在Rt△OPH中,OP=y,OH=3,PH=$\frac{9}{4}-x$,
∴y2=($\frac{9}{4}$-x)2+32
∴($\frac{20}{7}$x)2=($\frac{9}{4}$-x)2+32
解得x=$\frac{175}{156}$(负根已经舍弃),
∴AP=AG+GP=$\frac{7}{4}$+$\frac{175}{156}$=$\frac{112}{39}$,
∴t=$\frac{112}{39}$÷2=$\frac{56}{39}$.
故答案为$\frac{56}{39}$.

点评 本题考查矩形的性质、角平分线的性质定理、勾股定理、相似三角形的性质、二元二次方程组等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会利用参数构建方程组解决问题,属于中考填空题中的压轴题.

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