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4.如图,∠B=∠ACD=90°,AB=4,AC=5,当AD=$\frac{25}{3}$或$\frac{25}{4}$时,这两个直角三角形相似.

分析 先利用勾股定理计算出BC=3,再分类讨论:由于∠B=∠ACD=90°,则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,当AB:CD=BC:AC时,△ABC∽△DCA;当AB:AC=BC:CD时,△ABC∽△ACD,然后分别利用比例性质求出CD,再利用勾股定理计算对应的AD的长.

解答 解:在Rt△ABC中,BC=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3,
∵∠B=∠ACD=90°,
∴当AB:CD=BC:AC时,△ABC∽△DCA,即4:CD=3:5,解得CD=$\frac{20}{3}$,此时AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{25}{3}$;
当AB:AC=BC:CD时,△ABC∽△ACD,即4:5=3:CD,解得CD=$\frac{15}{4}$,此时AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{25}{4}$;
综上所述,当AD=$\frac{25}{3}$或$\frac{25}{4}$时,这两个直角三角形相似.
故答案为$\frac{25}{3}$或$\frac{25}{4}$.

点评 本题考查了相似三角形判定:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;注意利用对应边的变换进行分类讨论.

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