Question

对任意有理数x、y定义运算如下：x△y=ax+by+cxy，这里a、b、c是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a=1，b=2，c=3时，l△3=1×l+2×3+3×1×3=16，现已知所定义的新运算满足条件，1△2=3，2△3=4，并且有一个不为零的数d使得对任意有理数x△d=x，求a、b、c、d的值．

Answer 1

分析：由x△d=x，得ax+bd+cdx=x，即（a+cd-1）x+bd=0，得

a+cd-1=0 bd=0

①，由1△2=3，得a+2b+2c=3②，2△3=4，得2a+3b+6c=4③，解以上方程组成的方程组即可求得a、b、c、d的值．

解答：解：∵x△d=x，∴ax+bd+cdx=x，
∴（a+cd-1）x+bd=0，
∵有一个不为零的数d使得对任意有理数x△d=x，
则有

a+cd-1=0 bd=0

①，
∵1△2=3，∴a+2b+2c=3②，
∵2△3=4，∴2a+3b+6c=4③，
又∵d≠0，∴b=0，
∴有方程组

a+cd-1=0 a+2c=3 2a+6c=4

解得

a=5 c=-1 d=4

．
故a的值为5、b的值为0、c的值为-1、d的值为4．

点评：本题是新定义题，考查了定义新运算，解方程组．解题关键是由一个不为零的数d使得对任意有理数x△d=x，得出方程（a+cd-1）x+bd=0，得到方程组

a+cd-1=0 bd=0

，求出b的值．