Question

在一个盒子里有红、黄、黑三种颜色的小球共88个．已知从中任意取出24个，就可以保证至少有10个小球是同色的．问在满足上述条件下，无论各种颜色的小球如何分配，至少要从盒子中任意取出多少个小球，才能保证至少有20个小球是同色的？

Answer 1

分析：首先证明取出43个球是不够的，进而得出至少取出44个小球，进行讨论分析得出满足条件，才能保证有20个小球同色．

解答：证明：只取出43个球是不够的，
事实上，当盒子中有42个红球、41个黄球、5个黑球时，任取24个球，则红球与黄球至少有24-5=19个，
从而，红球或黄球中必有一种大于或等于10个，而19个红球，19个黄球，5个黑球，共43个球，但其中没有20个是同一色的，
其次证明：从中取44个球，则其中一定有20个小球同色，记盒子中红、黄、黑球的个数分别为x、y、z，不妨设x≥y≥z，
（1）若z≤5，则取出的44个球中，红球与黄球至少有44-5=39个，从而，红球与黄球中一定有一种大于或等于20个，
（2）若z=6，当y≤8时，44个球中红球的个数大于或等于44-8-6＞20，当y≥9时，取出9个红球，9个黄球，6个黑球，24个球中无10个同色球，不满足题设条件；
（3）若z=7，当y≥8时，取出9个红球，8个黄球，7个黑球，24个球中无10个同色球，不满足题设条件；当y=7时，44个球中红球个数大于或等于44-7-7＞20，
（4）若z≥8，则红球、黄球、黑球各取8个，即知不满足题设条件，
综上所述，至少取出44个小球才能保证有20个小球同色．

点评：此题主要考查了简单的极端原理，根据已知分别进行讨论分析得出z的取值进而得出答案是解题很关键．