Question

【题目】如图，在△ABC 中，∠ACB 为钝角，边 AC 绕点 A 沿逆时针方向旋转 90°得到AD，边 BC 绕点 B 沿顺时针方向旋转 90°得到 BE，作 DM⊥AB 于点 M，EN⊥AB于 点 N， 若 AB＝10，EN＝4， 则 DM＝__________．

Answer 1

【答案】6

【解析】

过点C作CF⊥AB于点F，由旋转的性质可得AD=AC，BE=BC，利用“一线三等角”证得∠D=∠CAF，从而可判定△DAM≌△ACF（AAS），则DM=AF．同理可证，△BFC≌△ENB（AAS），则BF=EN=4，再由AB=10，可得AF，即DM的值．

过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：

则旋转的性质得：
∴AD=AC，BE=BC，
∵DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，CF⊥AB于点F，
∴∠AMD=∠AFC=∠BFC=∠BNE=90°，
∴∠D+∠DAM=90°，
∵∠CAD=90°，
∴∠CAF+∠DAM=90°，
∴∠D=∠CAF，
∴在△DAM和△ACF中，

，
∴△DAM≌△ACF（AAS），
∴DM=AF，
同理可证，△BFC≌△ENB（AAS），
∴BF=EN=4，
∵AB=10，
∴AF=6，
∴DM=6．
故答案为：6．