Question

19．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2．将△ABC绕顶点C旋转，点A转到BC边上的点A′处，点B转到点B′处．延长B′A′交AB于点D，则S_△BA′D=$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 先利用勾股定理计算出AB=$\sqrt{5}$，再根据旋转的性质得CE=CA=1，A′B′=AB=$\sqrt{5}$，CB′=BC=2，∠B=∠B′，∠A′DB′=∠ACB=90°，则BA′=BC-CA′=1，利用三角形内角和易得∠BDA′=A′CB′=90°，同时可判断Rt△BDA′∽Rt△B′CA′，利用相似比可计算BD=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$，DA′=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$，然后根据三角形面积公式求解．

解答 解：∵∠ACB=90°，AC=1，BC=2，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵△ABC绕顶点C旋转，点A转到BC边上的点A′处，点B转到点F处，
∴CA′=CA=1，A′B′=AB=$\sqrt{5}$，CB′=BC=2，∠B=∠B′，∠A′DB′=∠ACB=90°，
∴BA′=BC-CA′=1，
∵∠CA′B′=∠BA′D，
∴∠BDA′=∠A′CB′=90°，
∴Rt△BDA′∽Rt△B′CA′，
∴$\frac{BD}{CB′}$=$\frac{BA′}{A′B′}$=$\frac{DA′}{CA′}$，即$\frac{BD}{2}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{DA′}{1}$，解得BD=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$，DA′=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$，
∴S_△BA′D=$\frac{1}{2}$•DA′•BD=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{1}{5}$．
故答案为：$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．