Question

【题目】已知二次函数y＝x2－2(m＋1)x＋2m＋1（m为常数），函数图像的顶点为C．

（1）若该函数的图像恰好经过坐标原点，求点C的坐标；

（2）该函数的图像与x轴分别交于点A、B，若以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，求m的值．

Answer 1

【答案】（1），（2）m的值为1或－1

【解析】

（1）把（0，0）代入y＝x2－2(m＋1)x＋2m＋1可求出m的值，可得二次函数解析式，配方即可得出C点坐标；（2）令y=0，可用m表示出x1和x2，即可表示出AB的距离，根据二次函数解析式可用含m的代数式表示顶点C的坐标，根据以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形可得关于m的方程，解方程求出m的值即可.

（1）解：∵y＝x2－2(m＋1)x＋2m＋1的图像经过点（0，0）

∴2m＋1＝0，

∴m＝－，

当m＝－时，y＝x2－x＝(x－)2－，

∴顶点C的坐标(，－).

（2）解：当y＝0时x2－2(m＋1)x＋2m＋1＝0

∴x1＝2m＋1，x2＝1，

∴AB＝，

∵y＝x2－2(m＋1)x＋2m＋1＝(x－m－1)2－m2，

∴顶点C的坐标(m＋1，－m2)，

∵以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，

∴2m2＝，

当2m2＝2m时，m1＝0，m2＝1，

当2m2＝－2m时，m1＝0，m2＝－1，

当m＝0时，AB＝0（舍）

答：m的值为1或－1.